😀大家好，我是白晨，一个不是很能熬夜😫，但是也想日更的人✈。如果喜欢这篇文章，点个赞👍，关注一下👀白晨吧！你的支持就是我最大的动力！💪💪💪

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📔前言

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$\pi$ 一直是一个备受数学界青睐的数字。从古至今，无数的学者都在努力探求着 $\pi$ 精确值。🤼‍♂️从祖冲之到欧拉，📖从圣经到《数理精蕴》，从东至西，历经几千年的发展，特别是在计算机发明之后，对于 $\pi$ 的求解可以说是一日千里，现在计算到几十亿位以后已经不值得惊讶。

🧐这篇文章，白晨想带大家去了解利用计算机求解 $\pi$ 的一种方法，其中涉及到 C++，链表，大数四则运算等知识点。我会尽可能详细的讲解每一个难点的实现。

题目参考：

这次我们的最低目标是在3000ms的限制内，实现计算 $\pi$ 到小数点后500位。

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📕1.公式选择

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首先，如果不清楚如何计算 $\pi$ 的同学可以先参考下面的文章，有助于理解下面的公式选择。

π 是怎么算出来的？

相信大家看完后已经对 $\pi$ 的求法有一定的认识了，所以这里给出几个关于 $\pi$ 的几个公式：

我们这里选择第三个公式，为什么呢？

当然是因为第三个公式是题目给出的反正切函数的幂次展开式啦（bushi）

其实是因为第三个公式是线性收敛，平均每计算一次就会得到0.3个有效数字，相比于第四个$arctanx$泰勒展开公式（莱布尼茨公式）来说，效率上会高出很多，而且最重要的一点是它比较容易实现，递推公式如下：

将其展开就是第三个公式，大家可以对比着看。

关于$arctanx$泰勒展开计算 $\pi$ 可以参考此篇文章：π的计算

反正切函数的幂次展开式的推导具体过程：

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📗2.实现难点解析

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• 关于大数实现：

这里我们选择 C++ 模板中的 list 类来实现（也可以使用string类等，只要可以进行大数四则运算就可以，这里为了符合题意使用链表），由于 $\pi$ 的整数部分为3，所以我们只需要一位来存储整数部分，也即front存储整数部分，其余小数点以后的位顺次向后连接。

我们的核心目标是要实现：

我们将上面的任务拆开，分解成一个个独立的任务

• $R(n)\ast n$

这里我们选择模拟竖式乘法：

• 从链表尾结点开始，每个结点的数乘n。
• 结点中只能存放个位数，所以当乘得结果大于等于10，需要保存进位。
• 每次计算乘法时，还需要加上前一个数的进位。
• 循环上述过程，直到头节点。

• $R(n)\ast n/（2\ast n+1）$

这里我们选择模拟竖式除法：

• 用上面乘法得到的结果除以(2n + 1)。
• 除法与乘法相反，我们要从头节点开始除法。
• 每一位除以(2n + 1)得到的结果就是：(此节点的值 + 上一个结点的余数*10) /(2n + 1)。
• 再保存这个结点除以(2n + 1)后所得的余数。
• 循环上述过程，直到尾节点

此处不再演示，大家可以类比乘法动手模拟一下，其实非常相似，代码也很相似。

• $Sum(n+1)=Sum(n)+R(n+1)$

这就是递推公式的最后一步，将上面计算得到的 $R(n+1)$ 加到 $Sum(n)$ 上，这其实就是一个大数加法的问题，我们选择模拟竖式加法：

• 从最低位开始， $R(n+1)$ 与 $Sum(n)$ 对应的位相加。
• 相加得到的值如果大于等于10，需要进位。
• 对应位相加得到的结果需要加上进位
• 循环上述过程，直到头节点

此过程与乘法非常相近，在后面的代码实现中我们可以看出。

• 关于链表结点个数

链表结点数代表着小数点后的位数，所以当然是结点越多越精确，但是结点数太多会影响性能。如果我们要实现500位的精确值，我的建议是创建550~600个结点即可。

• 关于要迭代的次数

这里有两种根据所求精度估算大致的迭代的次数的方法：

1. 估算精度

   int count(int n) 
   {
   int i = 1;
   double sum = 0;
   int a, b;
   while(1)
   {
   a = 2 * i + 1;
   b = i;
   sum = sum + log10(a / b);
   i++;
   if (sum > n + 1) {
   return i;
   }
   }
   }
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   参考文章：数据结构实验1.2—高精度计算PI值（西工大）

2. 估算有效数字

int count(int n)
{
double ret = (double)n;
return (int)(ret / 0.3);
}
1
2
3
4
5

参考文章：目前求 π 的算法中哪种收敛最快？

以上两种方法都可以使用，根据我在release发布版本的测试下，两种方法没有数量级的差别，所以使用哪一种都可以。

注：如果要提升精度，必须也增大结点个数，不能只增加迭代次数

测试结果：

方法一：

方法二：

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📘3.代码实现

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#include <time.h>
#include <iostream>
#include <list>
#include<math.h>
using namespace std;

// 估测要计算的次数
// 方法一：
int count(int n) 
{
int i = 1;
double sum = 0;
int a, b;
while(1)
{
a = 2 * i + 1;
b = i;
sum = sum + log10(a / b);
i++;
if (sum > n + 1) {
return i;
}
}
}

// 方法二：
int count(int n)
{
double ret = (double)n;
return (int)(ret / 0.3);
}

int main()
{
// 定义我们需要多少个结点
#define NODE_NUM 550
list<int> num(NODE_NUM, 0);// 存放R(n)
list<int> sum(NODE_NUM, 0);// 存放Sum(n)
int print;// 所需精度
cin >> print;
int cnt = count(print);// 所需迭代次数
    
// 我们直接将 R(1) 初始化为2，这样就可以免去后面再统一乘2
num.front() = 2;
sum.front() = 2;

// 这里循环的 i 就是 n 
for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
{
int ret = 0;// 记录进位，补位情况

 // 计算R(n + 1)

// 计算 R(n) * n
for (list<int>::reverse_iterator cur1 = num.rbegin(); cur1 != num.rend(); cur1++)
{
            // 每一位都是本位乘i，再加上进位
int val = *cur1 * i + ret;
            // 保存进位
ret = val / 10;
            // 保存本位
*cur1 = val % 10;
}

ret = 0;
// 计算 R(n) * n / (2n + 1)
for (list<int>::iterator cur1 = num.begin(); cur1 != num.end(); cur1++)
{
            // 除数
int div = (i << 1) + 1;
            // 加上前一位的余数
int val = *cur1 + ret * 10;
            // 除法，保存本位
*cur1 = val / div;
            // 保存余数
ret = val - *cur1 * div;
}

ret = 0;
// 计算 sum += R(n + 1)
for (auto cur2 = sum.rbegin(), cur1 = num.rbegin(); cur2 != sum.rend(); cur2++, cur1++)
{
            // 大数加法
int val = *cur1 + *cur2 + ret;
*cur2 = val % 10;
ret = val / 10;
}

}
// 打印
cout << sum.front() << '.';
list<int>::iterator it = sum.begin();
it++;

int i = 0;
while (i < print)
{
cout << *it;
it++;
i++;
}

return 0;
}
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📙后记

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这个方法其实还是有改进的细节，比如：

1. 将输入输出更换为scanf和printf，因为其实在效率上 cin和cout 比前者慢了几十倍，在输出大型数字时，效率会受影响。
2. 公式限制，其实比反正切幂次展开更高效的公式还是很多，这里只是为了实现简单和逻辑清晰而选择了反正切幂次展开，大家有兴趣可以参考下图公式自己去实现。

参考文章：目前求 π 的算法中哪种收敛最快？

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这是一个新的系列 ——【算法】，想来想去将这个计算 $\pi$ 的文章放到了【算法】系列的开篇。因为其中确实有不少算法的实现，并且难度不是很大，很适合想学习C++或者算法的入门学习，在探求 $\pi$ 的实践中一路学习高数🦄和编程（bushi）。

如果解析有不对之处还请指正，我会尽快修改，多谢大家的包容。

如果大家喜欢这个系列，还请大家多多支持啦😋！

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我是不太能熬夜的白晨，我们下篇文章见。