核心概念

一般线性模型概述

GLM:一般线性模型。它的核心思想是把数据看作是**模型函数（预测因子,predictor）和噪声（误差,error）**的线性结合。用线性代数的知识，我们可以将GLM表述为下面的形式：

图1.GLM的数学形式

用矩阵形式写为：$Y=X\beta +\epsilon$,其中 $X$为设计矩阵，$Y,\beta ,\epsilon$分别为观测数据，模型参数，残差，这三个量都是列向量.
接触过回归分析的同学不难理解，利用GLM，我们只要在假定模型函数属于某一类已知的函数之后，剩下的任务就是如何估计模型中未知的参数了。
GLM这个模型构建的架构包含了许多常用的fMRI数据分析技术，所以理解了GLM在fMRI中的应用方法，也就算正式入门fMRI数据分析了

GLM建模分析流程概览

图2.GLM的分析流程

如图2，为了能够利用GLM建模，我们需要预先进行试验设计，这个环节已经在Module12中讲过了，这里就不多讲了。我们的GLM通常是一个两级模型（two stage hierarchical model），也就是一般来说我们会分两级分析。第一级是单独针对每个个体进行数据分析，第二级是在个体间进行组间分析，在这里，我们的GLM把这两步结合在了一起。

再具体一些，这些步骤的设计过程是针对我们要拟合的fMRI数据的设计矩阵（design matrix,请看Module12），接着我们从第一级上来估计每个人的成像数据，接着对于每个体素（voxel）我们拟合模型，选定要对比的图像（这在下面我们会讲到），在不同的条件下，不同的被试之间进行组分析。接着，我们可以准备好进行神经活动或体素激活的定位了。

fMRI中的回归分析

最典型的分析方法可以称为集中单变量分析法（Mass Univariate Analysis）

图3.集中单变量分析法概述

如图3，一般来说，对于我们的模型，模型的输出是每个体素的大脑活动情况，输入是刺激，任务或者相关表现性状。这是一个多变量映射过程，多变量混合分析的重要假定是：每个体素之间活动是独立的，因此我们可以对每个体素进行独立的分析，然后在把他们合起来分析。接下来，让我们想想如何把GLM应用到某个指定的体素上。

第一级GLM：单一体素，单一对象

让我们来考虑一个实际问题：如何定位大脑中判别名人和非名人面孔的区域？

比如，现在有两张照片，一张是安吉丽娜.朱莉的,一张是路人甲的照片。如何通过fMRI实验，找到判别路人与朱莉的脑区呢？

图四.明星脸判别脑区的鉴定的实验设计

假定一次采样时间为20秒，有两种思路，一种，是我们持续让受试对象看朱莉的照片20秒（当然这中间是有空档的，即，朱莉的照片，没有照片，朱莉的照片），再让他看路人的照片20秒，如此循环。这种方法我们称之为组块设计（blocked designs），另一种是方法是，我们让受试者在20秒内一会看朱莉的照片，一会看路人的照片，这之间的间隔没有规律。这种方法，我们称之为事件相关设计（event-related designs）

图5A.第一级GLM，有一个预测变量的情况，比如针对预测变量，我们可以设明星脸为1，路人脸为-1。参数[公式]是对我们后续分析特别有用的量。

图5B.第一级GLM，有两个预测变量。比如，对明星脸的判别问题中，我们同时考虑了明星脸和路人脸两种状态在模型中对实验数据的影响。

图6.血液动力学延迟
如图6，我们在Module8中了解到，由于fMRI实际上测量的是人脑血液动力响应可实际上血液动力响应信号，与实际的神经活动信号在时间上是有延迟的，那我们该如何用GLM来表示真实的神经活动信号对于体素信号的影响呢？

解决方法是，我们假定我们研究的大脑的是一个线性时不变系统（LTI system，信号的参数不随时间改变且满足叠加原理的系统，详情请看信号与系统教材），我们认为GLM中的预测变量为血液动力学响应函数（即为HRF,我们认为它的参数不随时间变化，且可以用两个函数$\tau$的线性组合$j$进行拟合）与神经响应函数的卷积。

图7.LIT系统假设与预测变量的组成